Математическая энциклопедия. Как гипотеза может быть одновременно истинной и ложной

Дискуссии вокруг оснований теории множеств естественно подводили к вопросу о научной легальности не только самой этой теории, но и шире -о границах научного, и математического в частности, познания вообще. Наиболее острые споры были связаны с обсуждением основных проблем теории множеств: континуум-гипотезы, проблемы обоснования аксиомы выбора, попыток преодоления так называемых парадоксов теории множеств. Здесь мы конкретно можем увидеть, насколько трудны и порой непроходимы оказались те «дороги свободы», которые предложила математике теория множеств Кантора. Рассмотрим эти вопросы ближе.

Проблема континуума задала одно из центральных направлений развития теории множеств, а континуум-гипотеза стала одной из наиболее привлекающих внимание математиков XX столетия задач. В списке важнейших математических проблем, представленных Д. Гильбертом в 1900 г. на II Международном конгрессе математиков в Париже, континуум-гипотеза стояла первой. Континуум-гипотеза непосредственно связана с фундаментальной двойственностью самих оснований математической науки. Основными объектами математики являются число (натуральное) и пространство, и все содержательные результаты этой науки суть то или иное «соединение» одного начала с другим. Откуда возникает естественное стремление попытаться объединить число и пространство, дискретность и непрерывность в чем-то третьем, найти какой-то общий род, отдельными видами которого являлись бы эти два начала. «Преодоление пропасти между областью дискретного и областью непрерывного , или между арифметикой и геометрией, есть одна из главных-пожалуй, дажесамая главная-проблем оснований математики»,-пишут А. Френкель и И. Бар-Хил­лел 1 . Ближайшим образом эта задача выступала (исто­ри­чес­ки) как проблема арифметизации геометрии. Решение ее оказалось отнюдь не из легких. Уже античная математика обнаруживает здесь серьезные препятствия. Существуют несоизмеримые отрезки, и поэтому длины некоторых отрезков невозможно выразить через целое число длин единичного отрезка или его частей. Античная математика, чтобы обойти эти трудности, находит здесь удивительно изящные приемы: общую теорию отношений и метод исчерпывания. Но существенно, что эти новые приемы используют уже актуальную бесконечность.

Следующий этап в решении проблемы арифметизации геометрии связан с изобретением в XVII в. аналитической геометрии. Последняя выдвинула новый взгляд на геометрию. Вместо античного понимания этой науки, где созерцание играло принципиально неустранимую роль, Декарт предлагает некоеисчисление отрезков, которое должно было, в принципе, решить все возможные геометрические задачи 2 . Но тем самым задачаарифметизации геометрического пространства, сведения его к чисто числовой конструкции вставала еще острее. Возникающее также в XVII столетии дифференциальное и интегральное исчисление рассматривали геометрические конструкции в «бесконечно малом» 3 и делали проблему арифметизации пространства еще более актуальной. Однако проблема эта не поддавалась решению почти три века. И только во второй половине XIX в. появляются арифметические теории действительных чисел (Вейерштрасс, Дедекинд), позволяющие каждой точке пространства поставить в соответствие число. Они также существенно используют актуальную бесконечность. Кантор, последовательно и настойчиво проводя программу сведения всей математики к теоретико-множественным конструкциям, завершает всю эту линию развития, обнаруживая вместе с тем и непреодолимые апории, к которым она приводит. Хотя, конечно, следует отметить, что создатель теории множеств характерно отклонился от того направления, в котором традиционно стремились решить проблему преодоления противоположности между числом и пространством. Кантор ищет не «арифметизации геометрии», а более радикального сведения этих противоположностей к единой под-лежащей сущности. «Кантор желает-как он сам мне говорил на съезде естествоиспытателей в Касселе, - писал Ф. Клейн, - достигнуть "ис­тин­ного слияния арифметики и геометрии" в учении о множествах, другими словами, он желает представить учение о целых числах, с одной стороны, и теорию различных образов, с другой стороны, а также еще многое другое как равноправные и объединенные главы общего учения о множествах или совокупностях» 1 .

В вопросе о континууме Кантор был убежденным противником понимания его как некой данности, как некой априорной формы мышления (идеи ли или в кантовском смысле, как априорной формы созерцания, -безразлично). Кантору нужна была конструкция континуума ; только она могла бы, с одной стороны, удовлетворить насущные нужды развивающейся математики, а с другой-вписаться в ту общефилософскую перспективу, в которой осознавал науку Кантор:понять - значит сконструировать. Поэтому создателя теории множеств не удовлетворяют концепции континуума у Аристотеля и Фомы Аквинского: обе они исходили из некой предзаданности идеи континуума, некоего неразложимого созерцания. «Всякая арифметическая попытка определения этойтайны рассматривается как незаконное посягательство и с соответствующей энергией отвергается. Робкие натуры испытывают при этом впечатление, как если бы в вопросе о континууме речь шла не о математико-логическом понятии, а о каком-то религиозном догмате» 1 . Кантор не был робкой натурой и вопреки тысячелетней традиции старался дать конструктивную модель континуума. Конечно, его не могла также удовлетворить и атомистическая модель, восходящая еще к Эпикуру и Лукрецию.

Вопрос, согласно Кантору, мог ставиться только в терминах теории множеств: если в арифметическом пространстве n измерений задано некоторое множество Р, то при каком условии его можно назвать континуумом? Кантора вдохновляли на этом пути некоторые полученные им результаты по разложению точечных множеств. Во-первых, это была теорема о равномощности всехn -мерных пространств. Значит, как бы 2 все проблемыn -мерных множеств сводились к проблемам точечных множеств на прямой. Во-вторых, Кантор нашел некоторые множества, названные им совершенными , которые, казалось, выделяли существеннейшие свойства континуума. Примером канторовского совершенного множества может быть следующая конструкция:

Из сегмента на прямой мы выбрасываем среднюю треть: интервал (; ). Потом из оставшихся сегментов и [; 1] мы также выбрасываем средние трети: интервалы (; ) и (;). Далее из оставшихся сегментов мы опять выбрасываем средние трети и продолжаем этот процесс до бесконечности. То, что остается в результате 1 , называется канторовским совершенным множеством . Непосредственно видно, что множество получается очень «разреженным», на первый взгляд кажется даже, что в нем вообще ничего не остается. Но в то же время очевидно, что точки 0, , , , , , например, войдут в предельное множество. Более того, оказывается, это предельное множество будет несчетным, и его мощность будет равна мощности континуума, т.е. мощности точек на исходном сегменте . Канторовское совершенное множество обладает, кроме того, еще тем замечательным свойством, что каждая его точка является так называемой точкой конденсации . Это означает, что в любой окрестности этой точки содержится бесконечное несчетное множество других точек этого же совершенного множества. Это свойство, по Кантору, должно было как бы представить теоретико-множественную модель «плотности» континуума.

Для полного же описания свойств континуума важно еще одно свойство: связность . Множество Т связно, по Кантору, если любые две его точки можно соединить ломаной с вершинами, также принадлежащими этому множеству, и с длинами звеньев меньше любого наперед заданного e. «По моему мнению,-пишет Кантор,-эти два предиката-"совершенный" и "связный"-представляют собой необходимые и достаточные признаки континуума, и поэтому я определяю точечный континуум в G n [ в арифметическомn -мерном пространстве.-В.К. ] каксовершенное связное множество . Здесь "совершенный" и "связный"-не просто слова, а вполне общие предикатыконтинуума , понятийно охарактеризованные самым строгим образом при помощи предыдущих определений» 1 . Канторовские построения в теории точечных множеств оказали существенное влияние и на другие разделы математики, в частности топологию. Однако должно прямо признать, что:

1) канторовское определение континуума есть только некоторая частная модель континуума;

2) говоря о необходимых и достаточных признаках континуума, Кантор, вопреки своему желанию, признает, что имеет в виду некоторуюинтуицию континуума , вопрос о философском смысле которой остается открытым;

3) открытым, следовательно, остается и вопрос о соответствии интуиции континуума его конкретным моделям, в частности канторовской.

В этой же работе 1883 г. «Основы общего учения о многообразиях», из которой мы только что цитировали, Кантор объявляет, что надеется вскоре доказать, что мощность множества точек континуума в точности равна мощности так называемого второго числового класса. Это утверждение и называется континуум-ги ­ по ­ те ­ зой. По-другому это записывают обычно следующим образом:

Слева здесь стоит мощность стандартной числовой модели континуума, а a 1 представляет собой первое кардинальное число, следующее заa 0 - мощностью счетного множества.

Канторовские надежды на быстрое доказательство этого результата оказались несостоятельными. Более того, переписка Кантора показывает, какие титанические усилия прилагал он для решения проблемы и какие сокрушительные разочарования, взлеты и падения пришлось ему здесь пережить, переходя -временами лишь в течение одного месяца-от полной уверенности в доказанности результата к обнаружению ошибки в доказательстве и потом-к такой же полной уверенности в ложности континуум-гипотезы... Некоторые биографы считают, в частности, что именно перенапряжения и неудачи с доказательством континуум-гипотезы послужили причиной возникновения тяжелой психической болезни Кантора.

Как показала история, трудности с континуум-гипотезой имели достаточно объективную природу. В 1908 г. Э. Цермело сумел сформулировать аксиоматику теории множеств, что позволило начать исследования оснований теории множеств с помощью параллельно развивающихся методов математической логики. В 1931 г. К. Гедель доказал свою знаменитую теорему о неполноте, которая утверждала, что в любой достаточно богатой логической системе, содержащей, как минимум, элементарную арифметику, существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью методов этой же системы. Возникло подозрение, что канторовская континуум-гипотеза является как раз подобным утверждением. В 1963 г. П. Коэн доказал этот результат: было показано, что континуум-гипотеза независима от системы аксиом теории множеств Цермело-Френкеля. Другими словами, континуум-ги­по­те­за не может быть ни доказана, ни опровергнута в теории, опирающейся на эту систему аксиом. Коэн вообще склонялся к тому, что континуум-гипотеза, скорее всего, не верна. Дело в том, что a 1 , мощность второго числового класса, представляет собой множество всех упорядочений счетного множества. Они получаются с помощью достаточно элементарных операций над ординальными числами применением так называемых первого и второго принципов порождения чисел (при­бав­ле­ния единицы и взятия пределов фундаментальных последовательностей). С другой стороны, мощность континуума 2 a 0 есть мощность достаточно богатого множества функций на a 0 . Коэн пишет: «Таким образом, С 1 больше, чем a n , a w , a a , где a = a w , и т.д. С этой точки зрения С рассматривается как невероятно большое множество, которое дано нам какой-то смелой новой аксиомой и к которому нельзя приблизиться путем какого бы то ни было постепенного процесса построения. Быть может, следующие поколения научатся яснее видеть эту проблему и выражаться о ней более красноречиво» 2 . Читая эти строки, невозможно не вспомнить о предшествовавших поколениях. Эта несводимость континуума к некоторой постепенной конструктивной процедуре, о которой говорит Коэн, как бы воскрешает античное и средневековое представление о континууме как неразложимой исходной данности , как о естественном пределе человеческой аналитической способности. Несмотря на дерзкое предприятие множества «неробких натур» - и прежде всего самого создателя теории множеств Кантора - представить континуум как некоторую аналитическую конструкцию, после целого века дискуссий наука как бы возвращается к исходной, впрочем, подтвержденной тысячелетним опытом размышлений, точке зрения. Наука как бы делает круг, еще раз подтверждая, что познание - это прерогатива не только науки, но и мудрости.

Георг Кантор (Georg Cantor) умер в 1918 году в санатории в немецкого города Галле. Этот выдающийся математик заложил основы теории множеств в 1870-х годах. В свое время его идеи были враждебно встречены коллегами в Европе, а главным оппонентом стал Леопольд Кронекер (Leopold Kronecker), учитель Кантора. Во время одного из приступов депрессии бедный Георг написал 52 письма шведскому математику по имени Геста Миттаг-Леффлер (Gösta Mittag-Leffler), в каждом из которых упоминается Кронекер.

Но не только отношение современников толкало Кантора к депрессии. Неразрешимой проблемой для него стала неспособность доказать истинность континуум-гипотезы (Continuum Hypothesis). В одной из формулировок она звучит так: «Всякое бесконечное подмножество континуума R равномощно либо множеству натуральных чисел, либо R». Кантор был убежден в том, что она является истинной, но одного его убеждения было недостаточно. Однако как оказалось, выдающийся математик зря винил себя.

Истина или ложь?

В 1940 году Курт Гедель (Kurt Gödel) доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо, а в 1963 году Поль Коэн (Paul Cohen) показал общественности, что сама континуум-гипотеза также недоказуема.

Но как же это возможно? Истинность гипотезы недоказуема, но в то же время недоказуемо и ее отрицание? Подробный ответ займет ни одну страницу, но можно попробовать разобраться в этом парадоксе и без научных трактатов.

Континуум-гипотеза связана с понимаем размеров бесконечности. Но перед тем как говорить о размерах бесконечности, вспомним, как мы сравниваем обычные числа. Представим небольшое стадо коз в лесу. К примеру, сегодня пасутся шесть коз и на лужайке растут шесть деревьев. Если мы привяжем каждое животное к дереву, то они все будут в паре с деревом. Мы наблюдаем взаимно-однозначное математическое соответствие. Но если на лугу окажутся шесть коз и восемь деревьев, то мы никак не сможем установить подобное соответствие, какие бы варианты мы не пробовали: все равно останутся «деревья без животных».

Соответствие между множествами

Соответствия используются для сравнения размеров значительно больших, чем 6 коз, наборов чисел, в том чисел и для бесконечных множеств. Правило звучит так: если можно установить некое соответствие между двумя множествами, то их размер одинаков. И напротив: если соответствия нет, то одно из множеств должно быть больше. Например, совокупность всех натуральных чисел {1,2,3,4,...} содержит все числа, кратные пяти {5,10,15,20,...}. На первый взгляд кажется, что набор натуральных чисел больше, чем набор чисел, кратных пяти. Но на самом деле они равны по размеру: каждое натуральное число может быть в паре с кратным числом и при этом у нас не останется «свободных электронов», то есть непарных чисел. В таком соответствии, 1 будет идти вместе с 5, 2 — вместе с 10 и т.д.

Если повторять это упражнение для сравнения действительных чисел (к ним относятся целые числа, дроби, десятичные дроби и иррациональные числа) с натуральными числами, то мы придем к выводу, что совокупность первых больше. Другими словами, можно доказать, что не удается установить соответствие между этими двумя множествами.

Континуум-гипотеза утверждает, что нет бесконечного набора действительных чисел больше, чем совокупость натуральных чисел, но меньше, чем совокупность всех действительных чисел. Кантор был убежден в правдивости гипотезы, но никак не мог ее доказать.

Логика в помощь
Чтобы понять проблему, рассмотрим, из чего состоит математическое доказательство. Математические выводы должны быть доказаны посредством аксиом и логики.

Аксиомы — это утверждения о примитивных математических концепциях, которые являются истинными даже на интуитивном уровне. То есть никто никогда не ставит под сомнение их обоснованность. Пример аксиомы: для любого натурального числа (которое является простейшим понятием в математике) существует большее натуральное число. Это самоочевидно, и мы не ставим данное утверждение под сомнение.

Логика используется для построения более сложных выводов из аксиом. Так, мы можем создать модели, которые будут являться математическими структурами и удовлетворять условиям аксиом. Критически важно здесь то, любое утверждение аксиомы, доказанное с помощью логики, при переносе в любую другую модель будет истинным, что делает истинной и аксиому.

Примечательный факт: все основные математические выводы могут быть обоснованы с помощью аксиом, касающихся примитивного понятия о совокупности (обычно именуемым «множеством» в математике, а специальный раздел носит название «теория множеств»). Иными словами, можно доказывать математические утверждения, сначала интерпретируя высказывание на языке множеств (а это можно сделать всегда), а затем применяя логику для аксиом множеств.

Доказательство континуум-гипотезы

Курт Гедель описал модель, которая удовлетворяет аксиомам теории множеств, но не допускает бесконечное множество, чей размер варьируется в диапазоне натуральных и действительных чисел. Это помешало гипотезе континуума быть опровергнутой. Примечательно, что несколько лет спустя Пол Коэн нашел еще одну модель теории множеств, которая также соответствует аксиомам этой теории, что помешало континуум-гипотезе быть доказанной.

Проще говоря, для доказательства гипотезы континуума она должна быть истинна во всех моделях теории множеств, однако это не так. Пойдем от противного: чтобы гипотеза была опровергнута, она должна оставаться недействительной во всех моделях теории множеств, но и здесь нас ждет отрицательный ответ! Так континуум-гипотеза оказывается неразрешимым утверждением.

Не исключено, что новые аксиомы, пока еще неизвестные математической логике, покажут нам, истинна или ложна эта гипотеза.

Парадокс континуум-гипотезы и ее неопределённость в научном мире — это уникальное и важное явление, которое открывает нам глубинные структуры математики. Эта гипотеза ставит серьезные вопросы, касающиеся философии науки и аксиоматического метода. В данном случае математика может быть не самым прямым и разумным методом для описания нашей Вселенной. И вполне естественно задаться вопросом, является ли фактор неопределенности, характерный для данного математического феномена, определяющим для раскрытия некоторых функций Вселенной? Можем ли мы применить эту гипотезу к основным законам мироздания?

Можно пойти в своих размышлениях дальше и задаться вопросом: существуют ли Вселенные, где математические факты отображаются по-разному? До тех пор, пока гипотеза континуума не доказана и не опровергнута, есть немалый соблазн ответить на все эти вопросы утвердительно.

Существуют, таким образом, бесконечные множества разной мощности, например, множество всех натуральных чисел и множество всех точек прямой. Возникает вопрос, существуют ли на прямой несчетные множества точек, которые не были бы равномощными. На этот вопрос мы не можем дать ответа. Предположение, что любое несчетное множество точек прямой имеет равную мощность с множеством всех точек прямой, носит название континуум-гипотезы. Эта гипотеза (высказанная создателем теории множеств Г. Кантором) до сих пор не доказана, но К. Гёдель доказал, что она не противоречит общепринятым аксиомам теории множеств (если только эти последние непротиворечивы). Я посвятил континуум-гипотезе специальную книгу, изданную в 1934 г, на французском языке (Hypothese du Continu), второе издание этой книги вышло в 1956 г. в Нью-Йорке. В 1951 г. я доказал, что континуум-гипотеза равносильна следующей теореме, в формулировке которой не участвует понятие бесконечности: Если из точки О трехмерного пространства провести три взаимно перпендикулярные прямые то множество всех точек пространства

является суммой трех множеств, из которых первое конечно на любой пряной, параллельной прямой второе конечно на любой прямой, параллельной прямой третье конечно на любой прямой, параллельной прямой

Положение точки на плоскости может быть, как известно, определено с помощью пары действительных чисел, так называемых координат точек, каковыми являются расстояния рассматриваемой точки от двух заданных на плоскости взаимно перпендикулярных прямых, называемых осями ординат. Оказывается, однако, что положение каждой точки на плоскости может быть также определено с помощью только одного действительного числа. Доказательство основывается на утверждении, что каждое действительное число имеет одно и только одно представление в виде бесконечной десятичной дроби, имеющей бесконечно много цифр, отличных от нуля.

Докажем, основываясь на этом, что множество Р всех пар действительных чисел таких, что

является равномощным с множеством всех действительных чйсел таких, что

Пусть означает данную пару, принадлежащую множеству Р. Представим числа х и у в виде десятичных дробей, имеющих бесконечно много цифр, отличных от нуля. Пусть это будут, например, дроби

Перепишем теперь по порядку цифры наших дробей, находящиеся после запятой, ставя вертикальную черту после каждой цифры, отличной от нуля. Таким образом получим из каждой дроби бесконечную последовательность групп цифр:

Вставив теперь группы второй последовательности между очередными группами первой последовательности, получим новую бесконечную последовательность групп цифр:

Опустим теперь в этой последовательности черточки. Полученная таким образом бесконечная последовательность цифр будет представлением в виде десятичной дроби некоторого числа

которое мы ставим в соответствие паре

Легко заметить, что это взаимно однозначное соответствие между элементами множеств . Следовательно, эти множества имеют равную мощность.

Отсюда легко можно вывести следствие, что множество всех точек плоскости является равномощным множеству всех точек прямой. Аналогично можно доказать, что множество всех точек трехмерного пространства равномощно множеству всех точек прямой.

В качестве примера двух несчетных множеств равной мощности приведем множества точек двух каких-либо отрезков прямой которые мы расположим под прямым углом, так, чтобы они являлись катетами треугольника (рис. 2).

Соответствующими точками наших отрезков будем считать точки, лежащие на одной прямой, параллельной гипотенузе (например, точки М и N).

Такое условие, очевидно, устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками наших отрезков.