Ряды для которых целесообразно применять признак даламбера. Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения. Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного числового ряда

Признак сходимости Даламбера Радикальный признак сходимости Коши Интегральный признак сходимости Коши

Одним из распространенных признаков сравнения, который встречается в практических примерах, является признак Даламбера. Признаки Коши встречаются реже, но тоже весьма популярны. Как всегда, постараюсь изложить материал просто, доступно и понятно. Тема не самая сложная, и все задания в известной степени трафаретны.

Жан Лерон Даламбер – это знаменитый французский математик 18-го века. Вообще, Даламбер специализировался на дифференциальных уравнениях и на основании своих исследований занимался баллистикой, чтобы у Его Величества лучше летали пушечные ядра. Заодно и про числовые ряды не забыл, не зря потом шеренги наполеоновских войск так четко сходились и расходились.

Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос:
Когда нужно применять признак сходимости Даламбера?

Сначала начнем с повторения. Вспомним случаи, когда нужно применять самый ходовойпредельный признак сравнения . Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда:
1) В знаменателе находится многочлен.
2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе.
3) Один или оба многочлена могут быть под корнем.

Основные же предпосылки для применения признака Даламбера следующие:

1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, , и так далее. Причем, совершенно не важно, где эта штуковина располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что она там присутствует.

2) В общий член ряда входит факториал. С факториалами мы скрестили шпаги ещё на урокеЧисловая последовательность и её предел . Впрочем, не помешает снова раскинуть скатерть-самобранку:

…

…

! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.

3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, . Этот случай встречается редко, но! При исследовании такого ряда часто допускают ошибку – см. Пример 6.

Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.

Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-тоиз рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.

Признак Даламбера : Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:
а) При ряд сходится . В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится . В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа . Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

У кого до сих пор проблемы с пределами или недопонимание пределов, обратитесь к урокуПределы. Примеры решений . Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность дальше, к сожалению, не продвинуться.

А сейчас долгожданные примеры.

Пример 1

Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть , а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера. Сначала полное решение и образец оформления, комментарии ниже.

Используем признак Даламбера:

сходится.

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему: . Из условия мы видим, что общий член ряда . Для того, чтобы получить следующий член ряда необходимо вместо подставить : .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби. При определенном опыте решения этот шаг можно пропускать.
(3) В числителе раскрываем скобки. В знаменателе выносим четверку из степени.
(4) Сокращаем на . Константу выносим за знак предела. В числителе в скобках приводим подобные слагаемые.
(5) Неопределенность устраняется стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(6) Почленно делим числители на знаменатели, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(7) Упрощаем ответ и делаем пометку, что с выводом о том, что, по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

В рассмотренном примере в общем члене ряда у нас встретился многочлен 2-ой степени. Что делать, если там многочлен 3-ей, 4-ой или более высокой степени? Дело в том, что если дан многочлен более высокой степени, то возникнут трудности с раскрытием скобок. В этом случае можно применять «турбо»-метод решения.

Пример 2

Возьмём похожий ряд и исследуем его на сходимость

Сначала полное решение, потом комментарии:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, исследуемый ряд сходится .

(1) Составляем отношение .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Рассмотрим выражение в числителе и выражение в знаменателе. Мы видим, что в числителе нужно раскрывать скобки и возводить в четвертую степень: , чего делать совершенно не хочется. Кроме того, для тех, кто не знаком с биномом Ньютона, данная задача вообще может оказаться невыполнимой. Проанализируем старшие степени: если мы вверху раскроем скобки , то получим старшую степень . Внизу у нас такая же старшая степень: . По аналогии с предыдущим примером, очевидно, что при почленном делении числителя и знаменателя на у нас в пределе получится единица. Или, как говорят математики, многочлены и – одного порядка роста . Таким образом, вполне можно обвести отношение простым карандашом и сразу указать, что эта штука стремится к единице. Аналогично расправляемся со второй парой многочленов: и , они тоже одного порядка роста , и их отношение стремится к единице.

На самом деле, такую «халтуру» можно было провернуть и в Примере №1, но для многочлена 2-ой степени такое решение смотрится всё-таки как-то несолидно. Лично я поступаю так: если есть многочлен (или многочлены) первой или второй степени, я использую «длинный» способ решения Примера 1. Если попадается многочлен 3-ей и более высоких степеней, я использую «турбо»-метод по образцу Примера 2.

Пример 3

Исследовать ряд на сходимость

Полное решение и образец оформления в конце урокао числовых последовательностях .
(4) Сокращаем всё, что можно сократить.
(5) Константу выносим за знак предела. В числителе раскрываем скобки.
(6) Неопределенность устраняем стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.

Пример 5

Исследовать ряд на сходимость

Полное решение и образец оформления в конце урока

Пример 6

Исследовать ряд на сходимость

Иногда встречаются ряды, которые в своей начинке содержат «цепь» множителей, этот тип ряда мы еще не рассматривали. Как исследовать ряд с «цепочкой» множителей? Использовать признак Даламбера. Но сначала для понимания происходящего распишем ряд подробно:

Из разложения мы видим, что у каждого следующего члена ряда добавляется дополнительный множитель в знаменателе, поэтому, если общий член ряда , то следующий член ряда:
. Вот здесь часто автоматом допускают ошибку, формально по алгоритму записывая, что

Примерный образец решения может выглядеть так:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Основные предпосылки для применения признака Даламбера следующие:

1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, , и так далее. Причем, совершенно не важно, где эти функции располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что они там присутствуют.

2) В общий член ряда входит факториал. Что такое факториал?

…

…

3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, . Этот случай встречается редко.

Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-то из рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.

Признак Даламбера : Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:
а) При ряд сходится
б) При ряд расходится
в) При признак не дает ответа . Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность дальше, к сожалению, не продвинуться.

Пример:
Решение: Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть , а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера.

Используем признак Даламбера:

сходится.

Радикальный признак Коши.

Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:
а) При ряд сходится . В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится . В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа . Нужно использовать другой признак.

! Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

!!! Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн» . Либо когда корень «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.

Пример: Исследовать ряд на сходимость

Решение: Мы видим, что общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от , а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:

Таким образом, исследуемый ряд расходится .

Интегральный признак Коши.

Для того чтобы применять интегральный признак Коши необходимо более или менее уверенно уметь находить производные, интегралы, а также иметь навык вычисления несобственного интеграла первого рода.

Сформулирую своими словами (для простоты понимания).

Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

! !! Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда есть некоторая функция и её производная.

Пример: Исследовать ряд на сходимость

Решение: Из темы Производная вы наверняка запомнили простейшую табличную вещь: , и у нас как раз такой канонический случай.

Как использовать интегральный признак? Сначала берем значок интеграла и переписываем со «счётчика» ряда верхний и нижний пределы: . Затем под интегралом переписываем «начинку» ряда с буковкой «икс»: .

Теперь нужно вычислить несобственный интеграл . При этом возможно два случая:

1) Если выяснится, что интеграл сходится, то будет сходиться и наш ряд .

2) Если выяснится, что интеграл расходится, то наш ряд тоже будет расходиться.

Используем интегральный признак:

Подынтегральная функция непрерывна на

Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Пример: Исследовать сходимость ряда

Решение: прежде всего, проверяем необходимый признак сходимости ряда . Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».

Числовая последовательность более высокого порядка роста , чем , поэтому , то есть необходимый признак сходимости выполнен, и ряд может, как сходиться, так и расходиться.

Таким образом, нужно использовать какой-либо признак. Но какой? Предельный признак сравнения явно не подходит, поскольку в общий член ряда затесался логарифм, признаки Даламбера и Коши тоже не приводят к результату. Если бы у нас был , то худо-бедно можно было бы вывернуться через интегральный признак .

«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?

Остаётся самый первый признак сравнения, основанный на неравенствах, который часто не принимается во внимание и пылится на дальней полке. Распишем ряд подробнее:

Напоминаю, что – неограниченно растущая числовая последовательность :

И, начиная с номера , будет выполнено неравенство :

то есть, члены ряда будут ещё больше соответствующих членов расходящегося ряда .

В итоге, ряду ничего не остаётся, как тоже расходиться.

Сходимость или расходимость числового ряда зависит от его «бесконечного хвоста» (остатка). В нашем случае мы можем не принимать во внимание тот факт, что неравенство неверно для первых двух номеров – это не оказывает влияния на сделанный вывод.

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:

Сравним данный ряд с расходящимся рядом .
Для всех номеров, начиная с , выполнено неравенство , следовательно, по признаку сравнения исследуемый ряд расходится .

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры решений.

Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:

Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус»

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:

Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака . Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , .

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница.

Признак Лейбница : Если в знакочередующемся ряде выполняются два условия: 1) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине . 2) предел общего члена по модулю равен нулю , то ряд сходится, и модуль суммы этого ряда не превосходит модуля первого члена.

Краткая справка о модуле:

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа . Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше , чем предыдущий.

Теперь немного про монотонность .

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:

А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: .

В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). При этом члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю , но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Пример: Исследовать ряд на сходимость

Решение: В общий член ряда входит множитель , а значит, нужно использовать признак Лейбница

1) Проверка ряда на монотонное убывание.

1<2<3<…, т.е. n+1>n – первое условие не выполняется

2) – второе условие тоже не выполнено.

Вывод: ряд расходится.

Определение: Если ряд сходится по признаку Лейбница и ряд, составленный из модулей: тоже сходится, то говорят, что ряд сходится абсолютно .

Если ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из модулей: расходится, то говорят, что ряд сходится условно .

Если ряд, составленный из модулей сходится, то сходится и данный ряд.

Поэтому знакочередующейся сходящийся ряд необходимо исследовать на абсолютную или условную сходимость.

Пример:

Решение: Используем признак Лейбница:

1) Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: – первое условие выполнено.

2) – второе условие тоже выполнено.

Вывод: ряд сходится.

Проверим на условную или абсолютную сходимость.

Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:
– расходится (гармонический ряд).

Таким образом, наш ряд не является абсолютно сходящимся .
Исследуемый ряд сходится условно .

Пример: Исследовать ряд на условную или абсолютную сходимость

Решение: Используем признак Лейбница:
1) Попробуем записать несколько первых членов ряда:

…?!

Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель.

Если числитель при растёт быстрее факториала, то . Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль: . А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному от нуля числу? или . Вместо можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. Факториал более высокого порядка роста .

– Факториал растёт быстрее, чем произведение любого количества показательных и степенных последовательностей (наш случай).

– Любая показательная последовательность растёт быстрее, чем любая степенная последовательность, например: , . Показательная последовательность более высокого порядка роста , чем любая степенная последовательность . Аналогично факториалу, показательная последовательность «перетягивает» произведение любого количества любых степенных последовательностей или многочленов: .

– А есть ли что-нибудь «сильнее» факториала? Есть! Степенно-показательная последовательность («эн» в степени «эн») растёт быстрее факториала . На практике встречается редко, но информация лишней не будет.

Конец справки

Таким образом, второй пункт исследования можно записать так:
2) , так как более высокого порядка роста, чем .
Члены ряда убывают по модулю, начиная с некоторого номера , при этом, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, таким образом, убывание монотонно.

Вывод : ряд сходится.

Вот здесь как раз тот любопытный случай, когда члены ряда сначала растут по модулю, из-за чего у нас сложилось ошибочное первоначальное мнение о пределе. Но, начиная с некоторого номера «эн» , факториал обгоняет числитель, и «хвост» ряда становится монотонно убывающим, что является принципиально важным для выполнения условия теоремы Лейбница. Чему конкретно равно данное «эн», выяснить достаточно трудно .

Исследуем ряд на абсолютную или условную сходимость:

А тут уже работает признак Даламбера:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно .

Разобранный пример можно решить другим способом (используем достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда).

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда: Если ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд.

Второй способ:

Исследовать ряд на условную или абсолютную сходимость

Решение : Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, ряд сходится.
Исходя из достаточного признака сходимости знакочередующегося ряда, сходится и сам ряд.

Вывод : Исследуемый ряд сходится абсолютно .

Для вычисления суммы ряда с заданной точностью будем использовать следующую теорему:

Пусть знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница и пусть – его n -ая частичная сумма. Тогда ряд сходится и погрешность при приближенном вычислении его суммы S по абсолютной величине не превосходит модуля первого отброшенного члена:

Функциональные ряды. Степенные ряды.
Область сходимости ряда.

Для успешного освоения темы нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах.

Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда. Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему "Выбор признака сходимости числовых рядов" .

Признак Д"Аламбера (или признак Даламбера) используется для исследования сходимости рядов, общий член которых строго больше нуля, т.е. $u_n > 0$. Такие ряды называют строго положительными . В стандартных примерах признак Д"Аламбера используют в предельной форме.

Признак Д"Аламбера (в предельной форме)

Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ строго положителен и $$ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=L, $$ то при $L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (и при $L=\infty$) ряд расходится.

Формулировка довольно проста, но остаётся открытым следующий вопрос: что будет, если $L=1$? Ответа на данный вопрос признак Д"Аламбера дать не в состоянии. Если $L=1$, то ряд может как сходиться, так и расходиться.

Чаще всего в стандартных примерах признак Д"Аламбера применяется, если в выражении общего члена ряда присутствуют многочлен от $n$ (многочлен может быть и под корнем) и степень вида $a^n$ или $n!$. Например, $u_n=\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}$ (см. пример №1) или $u_n=\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.

Что обозначает выражение "n!"? показать\скрыть

Запись "n!" (читается "эн факториал") обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

По определению полагается, что $0!=1!=1$. Для примера найдём 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Кроме того, нередко признак Д"Аламбера используют для выяснения сходимости ряда, общий член которого содержит произведение такой структуры: $u_n=\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}$.

Пример №1

Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}$ на сходимость.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}$. Так как при $n≥ 1$ имеем $3n+7 > 0$, $5^n>0$ и $2n^3-1 > 0$, то $u_n > 0$. Следовательно, наш ряд является строго положительным.

$$ 5\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{(3n+10)\left(2n^3-1\right)}{\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7)}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|= 5\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(3n+10)\left(2n^3-1\right)}{n^4}}{\frac{\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7)}{n^4}}= 5\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3n+10}{n}\cdot\frac{2n^3-1}{n^3}}{\frac{\left(2(n+1)^3-1\right)}{n^3}\cdot\frac{3n+7}{n}}=\\ =5\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac{3n}{n}+\frac{10}{n}\right)\cdot\left(\frac{2n^3}{n^3}-\frac{1}{n^3}\right)}{\left(2\left(\frac{n}{n}+\frac{1}{n}\right)^3-\frac{1}{n^3}\right)\cdot\left(\frac{3n}{n}+\frac{7}{n}\right)}=5\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\left(3+\frac{10}{n}\right)\cdot\left(2-\frac{1}{n^3}\right)}{\left(2\left(1+\frac{1}{n}\right)^3-\frac{1}{n^3}\right)\cdot\left(3+\frac{7}{n}\right)}=5\cdot\frac{3\cdot 2}{2\cdot 3}=5. $$

Так как $\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=5>1$, то согласно заданный ряд расходится.

Честно говоря, признак Д"Аламбера - не единственный вариант в данной ситуации. Можно использовать, например, радикальный признак Коши. Однако применение радикального признака Коши потребует знания (или доказательства) дополнительных формул. Поэтому использование признака Д"Аламбера в данной ситуации более удобно.

Ответ : ряд расходится.

Пример №2

Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}$ на сходимость.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.

Общий член ряда содержит многочлен под корнем, т.е. $\sqrt{4n+5}$, и факториал $(3n-2)!$. Наличие факториала в стандартном примере - почти стопроцентная гарантия применения признака Д"Аламбера.

Чтобы применить данный признак, нам придётся найти предел отношения $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. Чтобы записать $u_{n+1}$, нужно в формулу $u_n=\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}$ вместо $n$ подставить $n+1$:

$$ u_{n+1}=\frac{\sqrt{4(n+1)+5}}{(3(n+1)-2)!}=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$

Так как $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, то формулу для $u_{n+1}$ можно записать по-иному:

$$ u_{n+1}=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$

Эта запись удобна для дальнейшего решения, когда нам придётся сокращать дробь под пределом. Если равенство с факториалами требует пояснений, то прошу раскрыть примечание ниже.

Как мы получили равенство $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? показать\скрыть

Запись $(3n+1)!$ означает произведение всех натуральных чисел от 1 до $3n+1$. Т.е. данное выражение можно записать так:

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

Непосредственно перед числом $3n+1$ стоит число, на единицу меньшее, т.е. число $3n+1-1=3n$. А непосредственно перед числом $3n$ стоит число $3n-1$. Ну, а непосредственно перед числом $3n-1$ имеем число $3n-1-1=3n-2$. Перепишем формулу для $(3n+1)!$:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

Что представляет собой произведение $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$? Это произведение равно $(3n-2)!$. Следовательно, выражение для $(3n+1)!$ можно переписать в такой форме:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Эта запись удобна для дальнейшего решения, когда нам придётся сокращать дробь под пределом.

Вычислим значение $\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}$:

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}}{\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$

Так как $\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=0<1$, то согласно