Нахождение общего кратного двух чисел. Наименьшее общее кратное (НОК): определение, примеры и свойства. Как проверить, что число делится на другое число без остатка

Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка. Наименьшее общее кратное (НОК) группы чисел – это наименьшее число, которое делится без остатка на каждое число группы. Чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно найти простые множители данных чисел. Также НОК можно вычислить с помощью ряда других методов, которые применимы к группам из двух и более чисел.

Шаги

Ряд кратных чисел

Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых меньше 10. Если даны большие числа, воспользуйтесь другим методом.

• Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 5 и 8. Это небольшие числа, поэтому можно использовать данный метод.

1. Кратное число – это число, которое делится на данное число без остатка. Кратные числа можно посмотреть в таблице умножения..

   • Например, числами, которые кратны 5, являются: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишите ряд чисел, которые кратны первому числу. Сделайте это под кратными числами первого числа, чтобы сравнить два ряда чисел.

   • Например, числами, которые кратны 8, являются: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, и 64.

3. Найдите наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел. Возможно, вам придется написать длинные ряды кратных чисел, чтобы найти общее число. Наименьшее число, которое присутствует в обоих рядах кратных чисел, является наименьшим общим кратным.

   • Например, наименьшим числом, которое присутствует в рядах кратных чисел 5 и 8, является число 40. Поэтому 40 – это наименьшее общее кратное чисел 5 и 8.

   Разложение на простые множители

   1. Посмотрите на данные числа. Описанный здесь метод лучше применять, когда даны два числа, каждое из которых больше 10. Если даны меньшие числа, воспользуйтесь другим методом.

      • Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 20 и 84. Каждое из чисел больше 10, поэтому можно использовать данный метод.

   2. Разложите на простые множители первое число. То есть нужно найти такие простые числа, при перемножении которых получится данное число. Найдя простые множители, запишите их в виде равенства.

      Разложите на простые множители второе число. Сделайте это так же, как вы раскладывали на множители первое число, то есть найдите такие простые числа, при перемножении которых получится данное число.

      Запишите множители, общие для обоих чисел. Запишите такие множители в виде операции умножения. По мере записи каждого множителя зачеркивайте его в обоих выражениях (выражения, которые описывают разложения чисел на простые множители).

      К операции умножения добавьте оставшиеся множители. Это множители, которые не зачеркнуты в обоих выражениях, то есть множители, не являющиеся общими для обоих чисел.

      Вычислите наименьшее общее кратное. Для этого перемножьте числа в записанной операции умножения.

   Нахождение общих делителей

   Нарисуйте сетку как для игры в крестики-нолики. Такая сетка представляет собой две параллельные прямые, которые пересекаются (под прямым углом) с другими двумя параллельными прямыми. Таким образом, получатся три строки и три столбца (сетка очень похожа на значок #). Первое число напишите в первой строке и втором столбце. Второе число напишите в первой строке и третьем столбце.

   • Например, найдите наименьшее общее кратное чисел 18 и 30. Число 18 напишите в первой строке и втором столбце, а число 30 напишите в первой строке и третьем столбце.

   1. Найдите делитель, общий для обоих чисел. Запишите его в первой строке и первом столбце. Лучше искать простые делители, но это не является обязательным условием.

      • Например, 18 и 30 – это четные числа, поэтому их общим делителем будет число 2. Таким образом, напишите 2 в первой строке и первом столбце.

   2. Разделите каждое число на первый делитель. Каждое частное запишите под соответствующим числом. Частное – это результат деления двух чисел.

      Найдите делитель, общий для обоих частных. Если такого делителя нет, пропустите два следующих шага. В противном случае делитель запишите во второй строке и первом столбце.

      • Например, 9 и 15 делятся на 3, поэтому запишите 3 во второй строке и первом столбце.

   3. Разделите каждое частное на второй делитель. Каждый результат деления запишите под соответствующим частным.

      Если нужно, дополните сетку дополнительными ячейками. Повторяйте описанные действия до тех пор, пока у частных не будет общего делителя.

      Обведите кружками числа в первом столбце и последней строке сетки. Затем выделенные числа запишите в виде операции умножения.

   Алгоритм Евклида

   Запомните терминологию, связанную с операцией деления. Делимое – это число, которое делят. Делитель – это число, на которое делят. Частное – это результат деления двух чисел. Остаток – это число, оставшееся при делении двух чисел.

   Запишите выражение, которое описывает операцию деления с остатком. Выражение: делимое = делитель × частное + остаток {\displaystyle {\text{делимое}}={\text{делитель}}\times {\text{частное}}+{\text{остаток}}} . Это выражение будет использовано, чтобы записать алгоритм Евклида и найти наибольший общий делитель двух чисел.

   Большее из двух чисел рассматривайте в качестве делимого. Меньшее из двух чисел считайте делителем. Для этих чисел запишите выражение, которое описывает операцию деления с остатком.

   Первый делитель превратите в новое делимое. Остаток используйте в качестве нового делителя. Для этих чисел запишите выражение, которое описывает операцию деления с остатком.

Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

Например :

Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа . Делитель натурального числа a - это такое натуральное число, которое делит данное число a без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным .

Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел - 12. Общий делитель двух данных чисел a и b - это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a и b .

Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например , числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 - тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК) .

НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.

Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.

Коммутативность:

Ассоциативность:

В частности, если и — взаимно-простые числа , то:

Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n . Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n ).

Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.

Так, функция Чебышёва . А также:

Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n) .

Что следует из закона распределения простых чисел.

Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).

НОК(a, b ) можно вычислить несколькими способами:

1. Если известен наибольший общий делитель , можно использовать его связь с НОК:

2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

где p 1 ,...,p k — различные простые числа, а d 1 ,...,d k и e 1 ,...,e k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).

Тогда НОК (a ,b ) вычисляется по формуле:

Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители , входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b , причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.

Пример :

Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:

Правило. Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:

— разложить числа на простые множители;

— перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;

— полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.

Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.

Простые множители числа 28 (2, 2, 7) дополнили множителем 3 (числа 21), полученное произведение (84) будет наименьшим числом, которое делится на 21 и 28 .

Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300...), которому кратны все заданные числа.

Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.

Правило . Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.

Еще один вариант:

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:

1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2) записать степени всех простых множителей:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1 ,

3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;

4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

5) перемножить эти степени.

Пример . Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

Решение . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1 ,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1 ,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1 .

Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:

НОК = 2 4 · 3 3 · 5 1 · 7 1 = 15120.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  НОК(a, b ) можно вычислить несколькими способами.

  1. Если известен наибольший общий делитель , можно использовать его связь с НОК:

  lcm ⁡ (a , b) = | a ⋅ b | gcd ⁡ (a , b) {\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd} (a,b)}}}

  2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

  a = p 1 d 1 ⋅ ⋯ ⋅ p k d k , {\displaystyle a=p_{1}^{d_{1}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{d_{k}},} b = p 1 e 1 ⋅ ⋯ ⋅ p k e k , {\displaystyle b=p_{1}^{e_{1}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{e_{k}},}

  где p 1 , … , p k {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}} - различные простые числа, а d 1 , … , d k {\displaystyle d_{1},\dots ,d_{k}} и e 1 , … , e k {\displaystyle e_{1},\dots ,e_{k}} - неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОК(a ,b ) вычисляется по формуле:

  [ a , b ] = p 1 max (d 1 , e 1) ⋅ ⋯ ⋅ p k max (d k , e k) . {\displaystyle =p_{1}^{\max(d_{1},e_{1})}\cdot \dots \cdot p_{k}^{\max(d_{k},e_{k})}.}

  Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b , причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший. Пример:

  8 = 2 3 ⋅ 3 0 ⋅ 5 0 ⋅ 7 0 {\displaystyle 8\;\,\;\,=2^{3}\cdot 3^{0}\cdot 5^{0}\cdot 7^{0}} 9 = 2 0 ⋅ 3 2 ⋅ 5 0 ⋅ 7 0 {\displaystyle 9\;\,\;\,=2^{0}\cdot 3^{2}\cdot 5^{0}\cdot 7^{0}} 21 = 2 0 ⋅ 3 1 ⋅ 5 0 ⋅ 7 1 . {\displaystyle 21\;\,=2^{0}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}\cdot 7^{1}.} lcm ⁡ (8 , 9 , 21) = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 0 ⋅ 7 1 = 8 ⋅ 9 ⋅ 1 ⋅ 7 = 504. {\displaystyle \operatorname {lcm} (8,9,21)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{0}\cdot 7^{1}=8\cdot 9\cdot 1\cdot 7=504.}

  Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел.

  Числа, которые делятся на 10, мы называем кратными 10. Например, 30 или 50 кратны 10. 28 кратно 14. Числа, которые делятся одновременно и на 10, и на 14, естественно называть общими кратными 10 и 14.

  Общих кратных мы можем найти сколько угодно. Например, 140, 280 и т. д.

  Естественный вопрос: как найти самое меньшее из общих кратных, наименьшее общее кратное?

  Из найденных кратных для 10 и 14 пока наименьшее - это 140. Но является ли оно наименьшим общим кратным?

  Разложим наши числа на множители:

  Сконструируем такое число, которое делится на 10 и на 14. Чтобы делиться на 10, нужно иметь множители 2 и 5. Чтобы делиться на 14, нужно иметь множители 2 и 7. Но 2 уже есть, осталось добавить 7. Полученное число 70 - это общее кратное для 10 и 14. При этом не получится построить число меньше этого, чтобы оно тоже было общим кратным.

  Значит, это и есть наименьшее общее кратное . Для него мы используем обозначение НОК.

  Найдем НОД и НОК для чисел 182 и 70.

  

  Самостоятельно вычислите:

  3.

  Проверяем:

  

  Чтобы понять, что такое НОД и НОК, не обойтись без разложения на множители. Но, когда мы уже поняли, что это такое, уже не обязательно каждый раз раскладывать на множители.

  Например:

  Вы можете легко убедиться, что для двух чисел, где одно делится на другое, меньшее является их НОДом, а большее - НОКом. Попробуйте сами объяснить, почему это так.

  Длина шага папы - 70 см, а у маленькой дочери - 15 см. Они начинают идти, поставив ноги на одну отметку. Какое расстояние они пройдут, чтобы их ноги опять встали вровень?

  Папа и дочь начинают движение. Сначала ноги находятся на одной отметке. Пройдя несколько шагов у них ноги снова встали на одну отметку. Значит, и у папы, и дочери получилось целое количество шагов до этой отметки. Значит, расстояние до нее должно делиться на длину шага и папы, и дочери.

  То есть мы должны найти :

  То есть это случится через 210 см = 2 м 10 см.

  Нетрудно понять, что папа сделает 3 шага, а дочь - 14 (рис. 1).

  

  Рис. 1. Иллюстрация к задаче

  Задача 1

  У Пети в сети «ВКонтакте» 100 друзей, а у Вани - 200. Сколько всего друзей у Пети и Вани вместе, если общих друзей 30?

  Ответ 300 - неверный, ведь у них могут быть общие друзья.

  Решим эту задачу так. Изобразим множество всех друзей Пети кругом. Изобразим множество друзей Вани другим кругом, побольше.

  Эти круги имеют общую часть. Там находятся общие друзья. Эта общая часть называется «пересечение» двух множеств. То есть множество общих друзей - это пересечение множеств друзей каждого.

  

  Рис. 2. Круги множеств друзей

  Если общих друзей 30, то слева 70 - это друзья только Петины, а 170 - только Ванины (см. Рис. 2).

  Сколько всего?

  Всё большое множество, состоящее из двух кругов, называется объединением двух множеств.

  На самом деле ВК сам решает за нас задачу пересечения двух множеств, он сразу указывает множество общих друзей, когда вы заходите на страничку другого человека.

  Ситуация с НОДом и НОКом двух чисел очень похожа.

  Задача 2

  Рассмотрим два числа: 126 и 132.

  

  

  Их простые множители изобразим в кругах (см. Рис. 3).

  

  Рис. 3. Круги с простыми множителями

  Пересечение множеств - это общие делители. Из них состоит НОД.

  Объединение двух множеств дает нам НОК.

  Список литературы

  1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.

  2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.

  3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.

  4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.

  5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.

  6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

  3. Интернет-сайт «Школьный помощник» ()

  Домашнее задание

  1. В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй - 20 и третий - 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трем маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? Какое количество рейсов сделает каждый теплоход?

  2. Найдите НОК чисел:

  3. Найдите простые множители наименьшего общего кратного чисел:

  И , если: , , .

  Рассмотрим решение следующей задачи. Шаг мальчика составляет 75 см, а шаг девочки 60 см. Необходимо найти наименьшее расстояние, на котором они оба сделают по целому числу шагов.

  Решение. Весь путь который пройдут ребята, должен делиться без остатка на 60 и на 70, так как они должны сделать каждый целое число шагов. Другими словами, в ответе должно быть число, кратное как 75 так и 60.

  Сначала будем выписывать все кратные числа, для числа 75. Получаем:

  • 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

  Теперь выпишем числа, которые будут кратны 60. Получаем:

  • 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

  Теперь находим числа которые есть в обоих рядах.

  • Общими кратными чисел будут числа, 300, 600, и т.д.

  Самое наименьшее из них, это число 300. Оно в данном случае будет называться наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.

  Возвращаясь к условию задачи, наименьшее расстояние, на котором ребята сделают целое число шагов будет 300 см. Мальчик пройдет этот путь за 4 шага, а девочке потребуется сделать 5 шагов.

  Определение наименьшего общего кратного

  • Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел a и b называется наименьшее натуральное число, которое кратно как a, так и b.

  Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, не обязательно выписывть подряд все кратные для этих чисел.

  Можно воспользоваться следующим методом.

  Как найти наименьшее общее кратное

  Сначала необходимо разложить данные числа на простые множители.

  • 60 = 2*2*3*5,
  • 75=3*5*5.

  Теперь выпишем все множители которые есть в разложении первого числа (2,2,3,5) и добавим к нему все недостающие множители из разложения второго числа (5).

  Получим в итоге ряд простых чисел: 2,2,3,5,5. Произведение этих чисел и будет наименьшим общим сомножителем для данных чисел. 2*2*3*5*5 = 300.

  Общая схема нахождения наименьшего общего кратного

  • 1. Разложить числа на простые множители.
  • 2. Выписать простые множители которые входят в состав одного из них.
  • 3. Добавить к этим множителям все те, которые есть в разложении остальных, но нет в выбранном.
  • 4. Найти произведение всех выписанных сомножителей.

  Данный способ универсален. С его помощью можно найти наименьшее общее кратное любого количества натуральных чисел.