Свободные колебания системы с двумя степенями свободы. Малые свободные колебания системы с двумя степенями свободы Переход к главным координатам

Как известно, тело, ничем не ограниченное в движениях, называется свободным, так как может двигаться в любом направлении. Отсюда, каждое свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы движения. Оно обладает возможностью производить следующие перемещения: три перемещения поступательного характера, соответственно трем основным системам координат, и три вращательных движения вокруг этих трех координатных осей.

Наложение связей (закрепление) уменьшает количество степеней свободы. Так, если тело в одной своей точке закреплено, оно не может производить перемещение вдоль координатных осей, его движения ограничиваются лишь вращением вокруг этих осей, т.е. тело имеет три степени свободы. В том случае, когда закрепленными являются две точки, тело обладает только одной степенью свободы, оно может лишь вращаться вокруг линии (оси), проходящей через обе эти точки. И наконец, при трех закрепленных точках, не лежащих на одной линии, количество степеней свободы равно нулю, и никаких движений тела быть не может. У человека пассивный аппарат движения составляют части его тела, называемые звеньями. Все они соединены между собой, поэтому теряют возможность к трем видам движений вдоль координатных осей. У них остаются только возможности вращения вокруг этих осей. Таким образом, максимальное количество степеней свободы, которым может обладать одно звено тела по отношению к другому звену, смежному с ним, равняется трем.

Это относится к наиболее подвижным суставам человеческого тела, имеющим шаровидную форму.

Последовательно или разветвленные соединения частей тела (звеньев) образуют кинематические цепи.

У человека различают:

• - открытые кинематические цепи , имеющие свободный подвижный конец, закрепленный лишь на одном своем конце (например, рука по отношению к туловищу);
• - замкнутые кинематические цепи , закрепленные на обоих концах (например, позвонок - ребро - грудина - ребро - позвонок).

Следует отметить, что это касается потенциально возможных размахов движений в суставах. В действительности же у живого человека эти показатели всегда меньше, что доказано многочисленными работами отечественных исследователей - П. Ф. Лесгафтом, М. Ф. Иваницким, М. Г. Привесом, Н. Г. Озолиным и др. На величину подвижности в соединениях костей у живого человека влияет ряд факторов, связанных с возрастом, полом, индивидуальными особенностями, функциональным состоянием нервной системы, степенью растяжения мышц, температурой окружающей среды, временем дня и, наконец, что важно для спортсменов, степенью тренированности. Так, во всех соединениях костей (прерывных и непрерывных) степень подвижности у лиц молодого возраста больше, чем у старшего возраста; у женщин в среднем больше, чем у мужчин. На величину подвижности оказывает влияние степень растяжения тех мышц, которые находятся на стороне, противоположной движению, а также сила мышц, производящих данное движение. Чем эластичнее первые из названных мышц и сильнее вторые, тем размах движений в данном соединении костей больше, и наоборот. Известно, что в холодном помещении движения имеют меньший размах, чем в теплом, утром они меньше, чем вечером. Применение различных упражнений по-разному влияет на подвижность соединений. Так, систематические тренировки упражнениями «на гибкость» увеличивают амплитуду движений в соединениях, тогда как «силовые» упражнения, наоборот, уменьшают ее, приводя, к «закрепощению» суставов. Однако уменьшение амплитуды движений в суставах при применении силовых упражнений не является абсолютно неизбежным. Его можно предотвратить правильным сочетанием силовых упражнений с упражнениями на растяжение тех же самых мышечных групп.

В открытых кинематических цепях человеческого тела подвижность исчисляется десятками степеней свободы. Например, подвижность запястья относительно лопатки и подвижность предплюсны относительно таза насчитывает по семь степеней свободы, а кончики пальцев кисти относительно грудной клетки - 16 степеней свободы. Если суммировать все степени свободы конечностей и головы относительно туловища, то это выразится числом 105, слагающимся из следующих позиций:

• - голова - 3 степени свободы;
• - руки - 14 степеней свободы;
• - ноги - 12 степеней свободы;
• - кисти и стопы - 76 степеней свободы.

Для сравнения укажем, что преобладающее большинство машин обладает всего одной степенью свободы движений.

В шаровидных суставах возможны вращения около трех взаимно перпендикулярных осей. Общее же количество осей, около которых возможны в этих суставах вращения, до бесконечности велико. Следовательно, относительно шаровидных суставов можно сказать, что сочленяющиеся в них звенья из возможных шести степеней свободы движений имеют три степени свободы и три степени связанности.

Меньшей подвижностью обладают суставы с двумя степенями свободы движений и четырьмя степенями связанности. К ним относятся суставы яйцевидной или эллипсовидной и седловиной форм, т.е. двухосные. В них возможны движения вокруг этих двух осей.

Одну степень свободы подвижности и вместе с этим пять степеней связанности имеют звенья тела в тех суставах, которые обладают одной осью вращения, т.е. имеют две закрепленные точки.

В преобладающей части суставов тела человека две или три степени свободы. При нескольких степенях свободы движений (двух или более) возможно бесчисленное множество траекторий. Соединения костей черепа имеют шесть степеней связанности и являются неподвижными. Соединение костей при помощи хрящей и связок (синхондрозы и синдесмозы) могут иметь в некоторых случаях значительную подвижность, которая зависит от эластичности и от размеров хрящевых или соединительнотканных образований, находящихся между данными костями.

Пусть дана система с двумя степенями свободы и - обобщенные координаты. Кинетическая и потенциальная энергия системы дается формулами (10.2):

Функции Т и П определенно положительны, а потому:

Подставив (10.2) в (10.12), получим дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двумя степенями свободы:

Система имеет нулевое решение A=B=0, соответствующее устойчивому положению равновесия. Для ненулевых решений составим из (10.15) отношение:

Квадратное (относительно ) уравнение (10.18) в силу неравенств устойчивости имеет два вещественных положительных корня. Расположим их в порядке возрастания:

Для второго главного колебания:

Главные колебания являются колебаниями гармоническими.

Подставив поочередно и в (10.16), найдем связи между амплитудами A и B в главных колебаниях: . Множители и называют коэффициентами собственных форм (коэффициентами распределения амплитуд). Они могут быть как положительными, так и отрицательными. При обе координаты в главном колебании находятся в одной фазе; при - в противофазе.

Результирующее движение по каждой координате будет суммой двух главных колебаний:

где - зависят от начальных условий, - от начальных условий не зависят и определяются параметрами самой колебательной системы. В общем случае частоты и несоизмеримы, а потому результирующее движение не будет периодическим.

1. Определить собственные частоты и собственные формы колебаний (малых) двойного математического маятника, образованного двумя материальными точками равной массы m и двумя стержнями длиной каждый.

Подобная система в общем виде была рассмотрена в примере 2 (§34). Воспользуемся полученными там формулами (2) и (3).

При , получим:

Так как колебания малые, то с точностью до малых второго порядка включительно:

С учетом (3) из (1), замечаем:

Сравнивая (4) и (2), замечаем:

Раскрывая уравнение (7.52) частот, получим:

Из (9.50) находим коэффициенты распределения: .

Первое главное колебание:

Движение в фазе - в каждое мгновение стержни вращаются в одном направлении.

Второе главное колебание:

Движение в противофазе – в каждое мгновение стержни вращаются в прямо противоположных направлениях.

Формы колебаний показаны на рис. 50. Во втором главном колебании имеется особенная точка F, которая остается неподвижной. Такие точки называют узлами. Концевая точка O к узлам не относится.

2. Два твердых тела с массами и и две пружины, жесткостью и , объединены в систему, которая располагается на гладкой горизонтальной плоскости и может совершать малые прямолинейные колебания.

Первое главное колебание:

Тела движутся в фазе, либо вправо либо влево. Амплитуда колебаний второго тела в 1,62 раза больше.

Второе главное колебание:

Тела движутся в противофазе: либо навстречу друг другу, к узлу, либо расходятся от узла. Амплитуда колебаний второго тела составляет 0,62 амплитуды первого.

Рассмотрим малые колебания системы с двумя степенями свободы, на которую действуют силы потенциального поля и силы, периодически меняющиеся по времени. Возникающие при этом движения системы носят название вынужденных колебаний.

Пусть возмущающие обобщенные силы меняются по гармоническому закону от времени, имея равные периоды и начальную фазу. Тогда уравнения движения рассматриваемой системы будут вида:

Уравнения движения в рассматриваемом случае представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью.

Переход к главным координатам

Для удобства исследования уравнений движения перейдем в них к главным координатам системы Связь между координатами определяется формулами предыдущего параграфа вида:

Обозначим через соответственно обобщенные силы, соответствующие нормальным координатам Так как обобщенные силы представляют собой коэффициенты при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении элементарной работы действующих на систему сил, то

Следовательно:

Таким образом, уравнения движения в главных координатах приобретают вид:

Уравнения вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы в нормальных координатах независимы друг от друга и могут интегрироваться отдельно.

Критические частоты возмущающей силы

Уравнение для или определяет колебательный характер изменения нормальных координат, подробно изученный при рассмотрении вынужденного колебания точки по прямой, так как дифференциальные уравнения движения в обоих случаях одинаковы. В частности, если частота возмущающей силы равна частоте одного из собственных колебаний системы или то в решение в качестве множителя войдет время t. Следовательно, одна из нормальных обобщенных координат при достаточно большом t будет сколь угодно велика, или мы имеем явление резонанса.

Системы с двумя степенями свободы являются частным случаем систем с несколькими степенями свободы. Но эти системы являются простейшими, позволяющими еще получить в конечном виде расчетные формулы для определения частот колебаний, амплитуд и динамических прогибов.

yПрогибы балки от действия инерционных сил:

P 2 =1(1)

Знаки (-) в выражениях (1) вызваны тем, что инерционные силы и ед. перемещения имеют противоположное направление.

Считаем, что колебания масс совершаются по гармоническому закону:

(2)

Найдем ускорения движения масс:

(3)

Подставляя выражение (2) и (3) в уравнение (1) получим:

(5)

Неизвестными считаем амплитуды колебаний А 1 и А 2 , преобразуем уравнения:

(6)

Решение системы однородных уравнений А 1 = А 2 =0 нас не устраивает, чтобы получит не нулевое решение прировняем нулю детерминант системы (6):

(7)

преобразуем уравнение (8), считая неизвестной круговую частоту собственных колебаний :

Уравнение (9) называется бигармоническим уравнением свободных колебаний систем с двумя степенями свободы.

Заменяя переменную  2 =Z, получим

отсюда определяем Z 1 иZ 2.

В результате можно сделать следующие выводы:

1. Свободные колебания систем с двумя степенями свободы происходят с двумя частотами  1 и 2 . Более низкая частота 1 называется основной или основным тоном, более высокая частота 2 - называется второй частотой или обертоном.

Свободные колебания систем с n-степенями свободы являютсяn-тонными, состоящими изnсвободных колебаний.

2. Перемещения масс m 1 иm 2 выражаются следующими формулами:

т.е., если колебания происходят с частотой  1 ,, то в любой момент времени перемещения масс имеют одинаковые знаки.

Если колебания происходят только с частотой  2 ,, то перемещения масс в любой момент времени имеют противоположные знаки.

При одновременном колебании масс с частотами  1 и 2 система в основном колеблется по частоте 1 и в эти колебания вписывается обертон с частотой 2 .

Если на систему с двумя степенями свободы действуют вынуждающая сила с частотой , то необходимо чтобы:

  0,7  1 .

Лекция 9

Колебания систем с бесконечным числом степеней свободы.

Теория механических колебаний имеет многозначисленные и весьма разнообразные приложения едва ли не во всех областях техники. Независимо от назначения и конструктивного решения различных механических систем их колебания подчиняются одним и тем же физическим закономерностям, изучение которых и составляет предмет теории колебаний упругих систем. Наиболее полно разработана линейная теория колебаний. Теория колебаний систем с несколькими степенями свободы была дана еще в XVIII веке Лагранжем в его классическом труде "Аналитическая механика".

Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813) - с 19-летнего возраста профессор математики в Турине. С 1759 года - член, а с 1766 года - президент Берлинской Академии наук; с 1787 года жил в Париже. В 1776 году был избран почетным иностранным членом Петербургской Академии наук.

В конце XIX века Рэлеем были заложены основы линейной теории колебаний систем с бесконечной степенью степеней свободы (т.е. с непрерывным распределением массы по всему объему деформируемой системы). В XX веке линейная теория, можно сказать, была завершена (метод Бубнова-Галеркина, который позволяет с помощью последовательных приближений определять также высшие частоты колебаниий).

Джон Уильям Стретт (лорд Рэлей) (1842 - 1919) - английский физик, автор ряда работ по теории колебаний.

Иван Григорьевич Бубнов (1872 - 1919) - один из основоположников строительной механики корабля. Профессор Петербургского политехнического института, с 1910 года - Морской академии.

Борис Григорьевич Галеркин (1871- 1945) - профессор Ленинградского политехнического института.

Формула Рэлея наиболее популярна в теории колебаний и устойчивости упругих систем. Идея, лежащая в основе вывода формулы Рэлея, сводится к следующему. При моногармонических (однотонных) свободных колебаниях упругой системы с частотой , перемещения ее точек совершаются во времени по гармоническому закону:

где  1 (x,y,z), 2 (x,y,z), 3 (x,y,z) - функции пространственных координат точки, определяющие рассматриваемую форму колебаний (амплитудную).

Если эти функции известны, то частоту свободных колебаний можно найти из условия постоянства суммы кинетической и потенциальной энергии тела. Это условие приводит к уравнению, содержащему лишь одну неизвестную величину.

Однако указанные функции заранее неизвестны. Руководящая идея метода Рэлея состоит в том, чтобы задаваться этими функциями, сообразуя их выбор с граничными условиями и ожидаемой формой колебаний.

Подробнее рассмотрим реализацию этой идеи для плоских изгибных колебаний стержня, форма колебаний описывается функцией =(x). Свободные колебания описываются зависимостью

потенциальная энергия изогнутого стержня

(2)

кинетическая энергия

(3)

где l - длина стержня, m=m(x) интенсивность распределенной массы стержня;

Кривизна изогнутой оси стержня;- скорость поперечных колебаний.

Учитывая (1)

.

(4)

(5)

С течением времени каждая из этих величин непрерывно меняется, но, согласно закону сохранения энергии их сумма остается постоянной, т.е.

или подставляя сюда выражения (4), (5)

(7)

Отсюда следует формула Рэлея:

(8)

Если со стержнем с распределенной массой m, связаны сосредоточенные грузы с массами M i , то формула Рэлея приобретает вид:

(9)

Весь ход вывода показывает, что в рамках принятых допущений (справедливость технической теории изгиба стержней, отсутствия неупругих сопротивлений) эта формула точная, если (x) - истинная форма колебаний. Однако функция(x) заранее неизвестна. Практическое значение формулы Рэлея состоит в том, что с ее помощью можно найти собственную частоту, задаваясь формой колебаний(x). При этом в решение вностися более или менее серьезный элемент приближенности. По этой причине формулу Рэлея иногда называют приближенной.

m=cosntПримем в качестве формы колебаний функцию:(x)=ax 2 , которая удовлетворяет кинематическим граничным условиям задачи.

Определяем:

По формуле (8)

Этот результат значительно отличается от точного

Более точной является формула Граммеля, которая до сих пор еще не стала такой популярной, как формула Рэлея (возможно, вследствие своей относительной "молодости" - она предложена в 1939 году).

Снова остановимся на той же задаче о свободных изгибных колебаниях стержня.

Пусть (x) - задаваемая форма свободных колебаний стержня. Тогда интенсивность максимальных сил инерции определяется выражением m 2 , где по прежнему m=m(x) - интенсивность распределенной массы стержня; 2 - квадрат собственной частоты. Эти силы достигают указанного значения в тот момент, когда прогибы максимальны, т.е. определяются функцией(x).

Запишем выражение наибольшей потенциальной энергии изгиба через изгибающие моменты, вызываемые максимальными силами инерции:

. (10)

Здесь - изгибающие моменты, вызываемые нагрузкой m 2 . Обозначим изг - изгибающий момент, вызываемый условной нагрузкой m, т.е. в 2 раз меньший, чем силы инерции.

, (11)

и выражение (10) можно записать в виде:

. (12)

Наибольшая кинетическая энергия, как и выше

. (13)

Приравнивая выражения (12) и (13) приходим к формуле Граммеля:

(14)

Для вычислений по этой формуле необходимо прежде всего задаться подходящей функцией (x). После этого определяется условная нагрузка m=m(x)(x) и записываются выражения изг вызываемые условной нагрузкой m. По формуле (14) определяют частоту собственных колебаний системы.

Пример: (рассматриваем предыдущий)

y

m(x)·(x)=max 2

Колебания системы с несколькими степенями свободы, имеющие важные практические приложения, отличаются от колебаний системы с одной степенью свободы рядом существенных особенностей. Чтобы дать представление об этих особенностях, рассмотрим случай свободных колебаний системы с двумя степенями свободы.

Пусть положение системы определяется обобщенными координатами и при система находится в устойчивом равновесии. Тогда кинетическую и потенциальную энергии системы с точностью до квадратов малых величин можно найти так же, как были найдены равенства (132), (133), и представить в виде:

где инерционные коэффициенты и квазиупругие коэффициенты - величины постоянные. Если воспользоваться двумя уравнениями Лагранжа вида (131) и подставить в них эти значения Т и П, то получим следующие дифференциальные уравнения малых колебаний системы с двумя степенями свободы

Будем искать решение уравнений (145) в виде:

где A, B, k, a - постоянные величины. Подставив эти значения в уравнения (145) и сократив на получим

Чтобы уравнения (147) давали для А и В решения, отличные от иуля, определитель этой системы должен быть равен нулю или, иначе, коэффициенты при A и В в уравнениях должны быть пропорциональны, т. е.

Отсюда для определения получаем следующее уравнение, называемое уравнением частот.

Корни этого уравнения вещественны и положительны; это доказывается математически, но может быть обосновано и тем, что иначе не будут вещественны уравнения (145) не будут иметь решений вида (146), чего для системы, находящейся в устойчивом равновесии, быть не может (после возмущений она должна двигаться вблизи положения

Определив нз (149) , найдем две совокупности частных решений вида (146). Если учесть, что согласно эти решения будут:

где и - значения, которые я получает из (148) при и соответственно.

Колебания, определяемые уравнениями (150) и (151), называются главными колебаниями, а их частоты и кг - собственными частотами системы. При этом, колебание с частотой (всегда меныией) называют первым главным колебанием, а с частотой - вторым главным колебанием. Числа определяющие отношения амплитуд (или самих координат, т. е. ) в каждом из этих колебаний, называют коэффициентами формы.

Так как уравнения (145) являются линейными, то суммы частных решений (150) и (151) тоже будут решениями этих уравнений:

Равенства (152), содержащие четыре произвольных постоянных определяемых по начальным условиям, дают общее решение уравнений (145) и определяют закон малых колебаний системы. колебания слагаются из двух главных колебаний с частотами и не являются гармоническими. В частных случаях, при соответствующих начальных условиях, система может совершать одно из главных колебаний (например, первое, если ) и колебание будет гармоническим.

Собственные частоты и коэффициенты формы не зависят от начальных условий и являются основными характеристиками малых колебаний системы; решение конкретных задач обычно сводится к определению этих характеристик.

Сопоставляя результаты этого и предыдущего параграфов, можно получить представление о том, к чему сведется исследование затухающих и вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы. Мы этого рассматривать не будем, отметим лишь, что при вынужденных колебаниях резонанс у такой системы может возникать дважды: при и при ( - частота возмущающей силы). Наконец, отметим, что колебания системы с s степенями свободы будут слагаться из s колебаний с частотами которые должны определяться из уравнения степени s относительно Это связано со значительными математическими трудностями, преодолеть которые можно с помощью электронных вычислительных (или аналоговых) машин.

Задача 185. Определить собственные частоты и коэффициенты формы малых колебаний двойного физического маятника, образованного стержнями и 2 одинаковой массы и длины l (рис. 374, а).

Решение. Выберем в качестве обобщенных координат малые углы . Тогда , где и, при требуемой точности подсчетов, . В итоге